2023年北京 市中考数学考试试题及答案

作法：如图，

①在直线l 上取一点A，作射线PA，以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交PA 的延长线于点B；

②在直线l 上取一点C（不与点A 重合），作射线BC，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交BC 的延长线于点Q；

③作直线PQ．所以直线PQ 就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：∵AB＝ ，CB＝ ，

∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．

18．（5 分）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣ +|﹣1|

19．（5 分）解不等式组：

20．（5 分）关于x 的一元二次方程ax2+bx+1＝0．

（1）当b＝a+2 时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b 的值，并求此时方程的根．

21．（5 分）如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD 交于点O，AC 平分∠BAD，过点C 作CE⊥

AB 交AB 的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD 是菱形；

（2）若AB＝ ，BD＝2，求OE 的长．

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22．（5 分）如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，

CD．

（1）求证：OP⊥CD；

（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP 的长．

23．（6 分）在平面直角坐标系xOy 中，函数y＝ （x＞0）的图象G 经过点A（4，1），直线l：y＝ +b 与图

象G 交于点B，与y 轴交于点C．

（1）求k 的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A，B 之间的部分与线段OA，OC，BC 围成的区域（不含边

界）为W．

①当b＝﹣1 时，直接写出区域W 内的整点个数；

②若区域W 内恰有4 个整点，结合函数图象，求b 的取值范围．

24．（6 分）如图，Q 是与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦AB 上一动点，连接PQ 并延长交于点

C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P 两点间的距离为xcm，P，C 两点间的距离为y1cm，A，C 两点间的距离为

y2cm．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2 与x 的几组对应值；

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x/cm 0 1 2 3 4 5 6

y1/cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37

y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11

（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数

y1，y2 的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当△APC 为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm．

25．（6 分）某年级共有300 名学生．为了解该年级学生A，B 两门课程的学习情况，从中随机抽取60 名学生进行

测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信

息．

a．A 课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6 组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜

90，90≤x≤100）：

b．A 课程成绩在70≤x＜80 这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5

c．A，B 两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：