2023年北京 市中考数学考试试题及答案

【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个

函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．

24．【分析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；

（2）利用描点法画出图象即可．

（3）图中寻找直线y＝x 与两个函数的交点的横坐标以及y1 与y2 的交点的横坐标即可；

【解答】解：（1）∵PA＝6 时，AB＝6，BC＝4.37，AC＝4.11，

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∴AB2＝AC2+BC2，

∴∠ACB＝90°，

∴AB 是直径．

当x＝3 时，PA＝PB＝PC＝3，

∴y1＝3，

故答案为3．

（2）函数图象如图所示：

（3）观察图象可知：当x＝y，即当PA＝PC 或PA＝AC 时，x＝3 或4.91，

当y1＝y2 时，即PC＝AC 时，x＝5.77，

综上所述，满足条件的x 的值为3 或4.91 或5.77．

故答案为3 或4.91 或5.77．

【点评】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题

型．

25．【分析】（1）先确定A 课程的中位数落在第4 小组，再由此分组具体数据得出第30、31 个数据的平均数即

可；

（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；

（3）用总人数乘以样本中超过75.8 分的人数所占比例可得．

【解答】解：（1）∵A 课程总人数为2+6+12+14+18+8＝60，

∴中位数为第30、31 个数据的平均数，而第30、31 个数据均在70≤x＜80 这一组，

∴中位数在70≤x＜80 这一组，

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∵70≤x＜80 这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，

∴A 课程的中位数为＝78.75，即m＝78.75；

（2）∵该学生的成绩小于A 课程的中位数，而大于B 课程的中位数，

∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，

故答案为：B、该学生的成绩小于A 课程的中位数，而大于B 课程的中位数．

（3）估计A 课程成绩跑过75.8 分的人数为300× ＝180 人．

【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及

中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．

26．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B 的坐标，根据平移的性质可求点C 的坐标；

（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A 的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；

（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC 上；进行讨论即可求解．

【解答】解：（1）与y 轴交点：令x＝0 代入直线y＝4x+4 得y＝4，

∴B（0，4），

∵点B 向右平移5 个单位长度，得到点C，

∴C（5，4）；

（2）与x 轴交点：令y＝0 代入直线y＝4x+4 得x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），

∵点B 向右平移5 个单位长度，得到点C，

将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a 中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，

∴抛物线的对称轴x＝﹣ ＝﹣ ＝1；

（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a 经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，

由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A 的对称点（3，0），

①a＞0 时，如图1，

将x＝0 代入抛物线得y＝﹣3a，

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∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点，

∴﹣3a＜4，

a＞﹣ ，

将x＝5 代入抛物线得y＝12a，

∴12a≥4，

a≥ ，

∴a≥ ；

②a＜0 时，如图2，

将x＝0 代入抛物线得y＝﹣3a，

∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点，

∴﹣3a＞4，

a＜﹣ ；

③当抛物线的顶点在线段BC 上时，则顶点为（1，4），如图3，

将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，

解得a＝﹣1．

综上所述，a≥ 或a＜﹣ 或a＝﹣1．

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【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握

解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次

函数足够了解才能快捷的解决问题．

27．【分析】（1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL 证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；

（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝EH，证明△DME≌△EBH，则EM＝

BH，根据等腰直角△AEM 得：EM＝ AE，得结论；

证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE＝HN，AD＝EN，再说明△BNH 是等腰直角

三角形，可得结论．

【解答】证明：（1）如图1，连接DF，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，

∵点A 关于直线DE 的对称点为F，

∴△ADE≌△FDE，

∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，

∴∠DFG＝90°，

在Rt△DFG 和Rt△DCG 中，

∵ ，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），

∴GF＝GC；

（2）BH＝ AE，理由是：

证法一：如图2，在线段AD 上截取AM，使AM＝AE，

∵AD＝AB，

∴DM＝BE，

由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∵∠ADC＝90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，

∴2∠2+2∠3＝90°，

∴∠2+∠3＝45°，

即∠EDG＝45°，

∵EH⊥DE，

∴∠DEH＝90°，△DEH 是等腰直角三角形，

∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，

∴∠1＝∠BEH，

在△DME 和△EBH 中，

∵ ，

∴△DME≌△EBH，

∴EM＝BH，

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Rt△AEM 中，∠A＝90°，AM＝AE，

∴EM＝ AE，

∴BH＝ AE；

证法二：如图3，过点H 作HN⊥AB 于N，

∴∠ENH＝90°，

由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，

在△DAE 和△ENH 中，

∴△DAE≌△ENH，

∴AE＝HN，AD＝EN，

∵AD＝AB，

∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，

∴AE＝BN＝HN，

∴△BNH 是等腰直角三角形，

∴BH＝ HN＝ AE．

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【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等

知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决

本题的关键．

28．【分析】（1）根据点A、B、C 三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；

（2）由题意知y＝kx 在﹣1≤x≤1 范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）

时k 的值即可得；

（3）分⊙T 在△ABC 的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．

【解答】解：（1）如图所示，点O 到△ABC 的距离的最小值为2，

∴d（点O，△ABC）＝2；

（2）y＝kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1 范围内，函数图象为线段，

当y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k＝﹣1，此时d（G，△ABC）＝1；

当y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k＝1，此时d（G，△ABC）＝1；

∴﹣1≤k≤1，

∵k≠0，

∴﹣1≤k≤1 且k≠0；

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（3）⊙T 与△ABC 的位置关系分三种情况：

①当⊙T 在△ABC 的左侧时，由d（⊙T，△ABC）＝1 知此时t＝﹣4；

②当⊙T 在△ABC 内部时，

当点T 与原点重合时，d（⊙T，△ABC）＝1，知此时t＝0；

当点T 位于T3 位置时，由d（⊙T，△ABC）＝1 知T3M＝2，

∵AB＝BC＝8、∠ABC＝90°，

∴∠C＝∠T3DM＝45°，

则T3D＝ ＝ ＝2 ，

∴t＝4﹣2 ，

故此时0≤t≤4﹣2 ；

③当⊙T 在△ABC 右边时，由d（⊙T，△ABC）＝1 知T4N＝2，

∵∠T4DC＝∠C＝45°，

∴T4D＝ ＝ ＝2 ，

∴t＝4+2 ；

综上，t＝﹣4 或0≤t≤4﹣2 或t＝4+2 ．

【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“闭距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类

讨论思想的运用．