2023年北京 市中考数学考试试题及答案

【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创

新产出排名为第11 在另一排名中找到创新效率排名为第3

故答案为：3

【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定问题，解答时注意根据具体题意确定点的位置和坐标．

三、解答题（本题共68 分，第17-22 题，每小题5 分，第23-26 题，每小题5 分，第27，28 题，每小题5 分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；

（2）利用三角形中位线定理证明即可；

【解答】（1）解：直线PQ 如图所示；

（2）证明：∵AB＝AP，CB＝CQ，

∴PQ∥l（三角形中位线定理）．

故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属

于中考常考题型．

18．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．

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【解答】解：原式＝4× +1﹣3 +1

＝﹣ +2．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

19．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

【解答】解：

∵解不等式①得：x＞﹣2，

解不等式②得：x＜3，

∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．

20．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；

（2）利用方程有两个相等的实数根得到△＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即

可．

【解答】解：（1）a≠0，

△＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，

∵a2＞0，

∴△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴△＝b2﹣4a＝0，

若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0

时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根．

21．【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；

（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．

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【解答】解：（1）∵AB∥CD，

∴∠OAB＝∠DCA，

∵AC 为∠DAB 的平分线，

∴∠OAB＝∠DAC，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴CD＝AD＝AB，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD 是平行四边形，

∵AD＝AB，

∴▱ABCD 是菱形；

（2）∵四边形ABCD 是菱形，

∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，

∴OE＝OA＝OC，

∵BD＝2，

∴OB＝ BD＝1，

在Rt△AOB 中，AB＝ ，OB＝1，

∴OA＝ ＝2，

∴OE＝OA＝2．

【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD

＝AD＝AB 是解本题的关键．

22．【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP＝∠COP，即可得出结论；

（2）先 求出∠COD＝60°，得出△OCD 是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．

【解答】解：（1）连接OC，OD，

∴OC＝OD，

∵PD，PC 是⊙O 的切线，

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∵∠ODP＝∠OCP＝90°，

在Rt△ODP 和Rt△OCP 中， ，

∴Rt△ODP≌Rt△OCP，

∴∠DOP＝∠COP，

∵OD＝OC，

∴OP⊥CD；

（2）如图，连接OD，OC，

∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，

∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，

∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，

∴∠COD＝60°，

∵OD＝OC，

∴△COD 是等边三角形，

由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，

在Rt△ODP 中，OP＝ ＝ ．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出

辅助线是解本题的关键．

23．【分析】（1）把A（4，1）代入y＝ 中可得k 的值；

（2）直线OA 的解析式为：y＝ x，可知直线l 与OA 平行，

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①将b＝﹣1 时代入可得：直线解析式为y＝ x﹣1，画图可得整点的个数；

②分两种情况：直线l 在OA 的下方和上方，

画图计算边界时点b 的值，可得b 的取值．

【解答】解：（1）把A（4，1）代入y＝ 得k＝4×1＝4；

（2）①当b＝﹣1 时，直线解析式为y＝ x﹣1，

解方程＝ x﹣1 得x1＝2﹣2 （舍去），x2＝2+2 ，则B（2+2 ， ），

而C（0，﹣1），

如图1 所示，区域W 内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3 个；

②如图2，直线l 在OA 的下方时，当直线l：y＝ +b 过（1，﹣1）时，b＝﹣ ，

且经过（5，0），

∴区域W 内恰有4 个整点，b 的取值范围是﹣ ≤b＜﹣1．

如图3，直线l 在OA 的上方时，

∵点（2，2）在函数y＝ （x＞0）的图象G，

当直线l：y＝ +b 过（1，2）时，b＝ ，

当直线l：y＝ +b 过（1，3）时，b＝ ，

∴区域W 内恰有4 个整点，b 的取值范围是＜b≤ ．

综上所述，区域W 内恰有4 个整点，b 的取值范围是﹣ ≤b＜﹣1 或＜b≤ ．